La station de métro - Corrigé

Énoncé

Une station de métro est desservie par deux lignes différentes : les lignes M1 et M2. La fréquence de passage de la ligne M1 dans cette station est de \(5\) minutes, tandis que celle de la ligne M2 est de \(7\) minutes. À 5 h 00, le service de transports démarre, et une rame de chaque ligne s'arrête dans la station.
À quelle heure deux métros entreront-ils simultanément dans cette station, pour la première fois, après 15 h 00 ?

Solution

Le problème revient à déterminer le plus petit entier \(n\) supérieur à \(10 \times 60=600\) (parce qu'à 15 h 00, il se sera écoulé 10 heures depuis 5 h 00) s'écrivant à la fois sous la forme \(n=5a\) (car les rames de la ligne M1 passent toutes les \(5\) minutes) et sous la forme \(n=7b\) (car les rames de la ligne M2 passent toutes les \(7\) minutes).

On a alors \(n=5a=7b\) avec \(a\) , \(b \in \mathbb{Z}\) . Ainsi, \(n\) est divisible par \(5\) et par \(7\) . Comme \(5\) et \(7\) sont premiers entre eux, d'après le théorème de Gauss, \(n\) est un multiple de \(5 \times 7=35\) et s'écrit donc \(n=35k\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) .

On a alors \(\begin{align*}n \geqslant 600& \ \ \Longleftrightarrow \ 35k \geqslant 600\ \ \Longleftrightarrow k \geqslant \frac{600}{35} \approx 17,1\end{align*}\)
donc le plus petit entier \(k\) qui convient est \(18\) , et on a alors \(n=35 \times 18 = 630\) .

Ainsi, deux rames de métro entreront simultanément dans la station, pour la première fois après 15 h 00, \(630\) minutes après 5 h 00 du matin, c'est-à-dire à 15 h 30.